Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且f（x）≠0，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求證：f（x）＞0；
（2）若f（1）=2，解不等式：f（3x）＞4f（x）；
（3）由（1）及題設(shè)，寫出函數(shù)f（x）的一個(gè)模型．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=f²（$\frac{x}{2}$）可得出結(jié)論；
（2）不等式等價(jià)于f（3x）＞f（2）f（x）=f（x+2），再根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出3x＞x+2，解出即可；
（3）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知指數(shù)函數(shù)符合f（x）的要求．

解答 解：（1）∵f（x）≠0，
∴f（x）=f（$\frac{x}{2}+\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0．
（2）∵f（1）=2，∴f（2）=f²（1）=4，
∴4f（x）=f（2）f（x）=f（x+2），
∴f（3x）＞f（x+2），
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴3x＞x+2，解得x＞1．
（3）f（x）=2^x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．