Question

10．已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1．
（Ⅰ）求證：${a^3}+{b^3}\;≥\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，求實(shí)數(shù)2a+3b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用立方和公式、結(jié)合配方法，即可證明；
（Ⅱ）若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，則|a-b|≤5，由此求實(shí)數(shù)2a+3b的取值范圍．

解答 （Ⅰ）證明：a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）=a²-a（1-a）+（1-a）²=$3（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）解：|x-a|+|x-b|≥|x-a-x+b|=|a-b|，至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得|x-a|+|x-b|≤5成立，則|a-b|≤5，
∵a+b=1，∴b=1-a，
∴|a-（1-a）|≤5，
∴-2≤a≤3，
∴2a+3b=3-a∈[0，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查絕對(duì)值不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．