Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求證：C₁N⊥平面BCN；
（2）求直線B₁C與平面C₁MN所成角θ的正弦值．

Answer 1

證明：（1）∵CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
∴CA=AN=NA₁=A₁C₁=1，
又由AA₁⊥底面ABC，AA₁⊥底面A₁B₁C₁
∴∠ANC=∠A1NC1=

π

4

…（1分），
∴∠CNC1=

π

2

，
即C₁N⊥NC…（2分），
因為CA⊥CB，BC⊥CC₁，AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面CAA₁C₁…（3分），
又∵C₁N?平面CAA₁C₁，
∴BC⊥C₁N…（4分），
因為BC∩NC=C，
所以C₁N⊥平面BCN…（5分）
（2）（方法一）以C為原點，CA、CB、CC₁在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系…（6分），
則C（0，0，0）、C₁（0，0，2）、B₁（0，1，2）…（7分），M(

1

2

，

1

2

，2)、N（1，0，1）…（8分），

C1M

=(

1

2

，

1

2

，0)、

C1N

=(1，0，-1)、

CB1

=(0，1，2)…（9分），
設(shè)平面C₁MN的一個法向為

n

=(a，b，c)，則

n • C1M =0 n • C1N =0

…（10分），
即

a+b=0 a-c=0

，取

n

=(1，-1，1)…（11分），
所以sinθ=|cos＜

n

，

CB1

＞|=

| n • CB1 |

| n || CB1 |

=

15

15

…（13分）．
（方法二）

A1M

A1N

=

AN

AB

=

2

2

，∠BAN=∠NA1M=

π

2

，△BAN\～△NA1M…（6分），
所以∠BNA=∠A₁MN，∠MNB=

π

2

，BN⊥MN…（7分），
由（1）知BN⊥C₁N，C₁N∩MN=N，所以BN⊥平面C₁MN…（8分）．
延長B₁B到B₂，延長C₁C到C₂，使BB₂=CC₂=2，連接BC₂、NC₂…（9分），
在△NBC₂中，BN=

3

，BC2=

5

，NC2=

10

…（10分），
cos∠NBC2=

BN2+BC22-NC22

2BN×BC2

…（11分），
=-

15

15

BN是平面C₁MN的法向量，由所作知BC₂∥B₁C，
從而θ=∠NBC2-

π

2

，所以sinθ=-cos∠NBC2=

15

15

…（13分）．