已知函數(shù), 在上為增函數(shù),且,求解下列各題:
(1)求的取值范圍;
(2)若在上為單調(diào)增函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),若在上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.
(1);(2); (3)
解析試題分析:(1)在上為增函數(shù),則在上恒成立,即在上恒成立.由于分母恒大于0,故在上恒成立,而這只需 的最小值即可.由此可得的取值范圍;
(2)在上為單調(diào)增函數(shù),則其導(dǎo)數(shù)大于等于0在恒成立,變形得在恒成立.與(1)題不同的是,這里不便求的最小值,故考慮分離參數(shù),即變形為.這樣只需大于等于的最大值即可.而,所以;
(3)構(gòu)造新函數(shù)=,這樣問題轉(zhuǎn)化為:在上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.而這只要的最大值大于0即可.
試題解析:(1)∵在上為增函數(shù)
∴在上恒成立,即在上恒成立
又
∴在上恒成立 2分
只須,即,由有 3分
∴ 4分
(2)由(1)問得
在上為單調(diào)增函數(shù)
在恒成立 6分
∴即,而
在恒成立時有,即函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)時,的范圍為; 8分
(3)由(1)問可知,,可以構(gòu)造新函數(shù)= 10分
①.當(dāng)時,
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已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上的最大值為,求它在該區(qū)間上的最小值.
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如圖,某小區(qū)有一邊長為2(單位:百米)的正方形地塊OABC,其中OAE是一個游泳池,計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路(寬度不計),切點為M,并把該地塊分為兩部分.現(xiàn)以點O為坐標(biāo)原點,以線段OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,若池邊AE滿足函數(shù)的圖象,且點M到邊OA距離為.
(1)當(dāng)時,求直路所在的直線方程;
(2)當(dāng)為何值時,地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大,最大值是多少?
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已知實數(shù)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小值;
(Ⅱ)若≥對任意的恒成立,求實數(shù)的值;
(Ⅲ)證明:
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已知函數(shù),其中,.
(Ⅰ)若的最小值為,試判斷函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零,求的取值范圍.
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已知函數(shù)
(Ⅰ).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及的取值范圍;
(Ⅱ).若函數(shù)有兩個極值點求的值.
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設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)a>ln2-1且x>0時,ex>x2-2ax+1.
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已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底)
(1)求的最小值;
(2)設(shè)不等式的解集為,且,求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,對定義域內(nèi)任意x,均有恒成立,求實數(shù)a的取值范圍?
(Ⅲ)證明:對任意的正整數(shù),恒成立。
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