Question

8．求橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的點(diǎn)到直線x-2y+4$\sqrt{2}$=0的最大距離．

Answer 1

分析 設(shè)出與x-2y+4$\sqrt{2}$=0平行且與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$相切的直線方程為x-2y+m=0，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式等于0求得m值，把橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的點(diǎn)到直線x-2y+4$\sqrt{2}$=0的最大距離轉(zhuǎn)化為橢圓的兩條相切的平行線間的距離得答案．

解答 解：設(shè)與x-2y+4$\sqrt{2}$=0平行且與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$相切的直線方程為x-2y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-16=0．
△=4m²-8（m²-16）=128-4m²=0，解得：m=$±4\sqrt{2}$．
∴直線x-2y+4$\sqrt{2}$=0與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$相切，
則橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$上的點(diǎn)到直線x-2y+4$\sqrt{2}$=0的最大距離為d=$\frac{|4\sqrt{2}-（-4\sqrt{2}）|}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．