Question

13．已知定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且f（2-x）=f（x），則f（2010）值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，我們不難得到函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，而且我們可以求出它的最小正周期T，根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，我們易求出f（2010）的值．

解答 解：∵對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，
則f（-x）=f（2+x）；
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，有f（-x）=f（x）；
即f（2+x）=-f（x）；則有f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4
故f（2010）=f（2）=f（2-2）=f（0），
又∵定義在R上的奇函數(shù)其圖象必過原點
∴f（2010）=0．
故選：D．

點評 利用函數(shù)的周期性解題要注意：對于任意實數(shù)x，①若f（x+T）=f（x），則T為函數(shù)的周期；②若f（x+T）=-f（x），則2T為函數(shù)的周期；③若（a，y），（b，y）分別為函數(shù)的兩個對稱中心則T=2|（a-b）|④對于任意x∈R，f（x+1）=$\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，則T=2⑤若（a，y）為函數(shù)的對稱中心，x=b為函數(shù)的對稱軸，則T=4|（a-b）|．