Question

已知橢圓（a＞b＞0）經過點，其離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點．求O到直線距離的l最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，
所以3a²=4b²，①（1分）
又點在橢圓C上，
所以，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）當直線l有斜率時，設y=kx+m時，
則由
消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
設A、B、P點的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則：，
由于點P在橢圓C上，所以．
從而，化簡得4m²=3+4k²，經檢驗滿足③式．
又點O到直線l的距離為：．
當且僅當k=0時等號成立，
當直線l無斜率時，由對稱性知，點P一定在x軸上，
從而P點為（-2，0），（2，0），直線l為x=±1，所以點O到直線l的距離為1，
所以點O到直線l的距離最小值為．
分析：（Ⅰ）直接把點的坐標代入橢圓C的方程，再結合離心率為求出a，b，c即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據平行四邊形的特征可得，然后利用根與系數的關系得到k與m的關系，最后根據點到直線的距離公式得到關于k的函數，進而利用函數求最值的方法求出答案即可．
點評：解決此類問題的關鍵是正確的運算并且抓住式子的結構特征利用函數求最值的方法解決問題．