Question

【題目】已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.

Answer 1

【答案】(1) an＝n (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題干中所得給的式子，再寫一項(xiàng)兩式做差得到an＋1－an＝1，進(jìn)而求出通項(xiàng)；（2）根據(jù)題意得到的通項(xiàng)，進(jìn)行裂項(xiàng)求和.

解析：

（Ⅰ）當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，

又{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以an≥1．

由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，

整理得2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．

所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，

所以{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an＝n．

（Ⅱ）bn＝＝＝－

所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋[－]

＝－＜．