Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當求函數(shù)在上的最大值和最小值；

（3）若對于任意的實數(shù)恒有求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)；（2）最大值是22，最小值為0；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)定義進行證明，首項確定定義域關于原點對稱，再證，（2）利用導數(shù)求函數(shù)在上單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)得函數(shù)在[，]上單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法，（3）先求導函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)與分類討論，利用以及進行證明或舉反例.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為R，

因為，

所以函數(shù)是偶函數(shù)．

（2）當時，，則，

令，則，所以是增函數(shù)，

又，所以，所以在[0，]上是增函數(shù)，

又函數(shù)是偶函數(shù)，

故函數(shù)在[，]上的最大值是22，小值為0．

（3），

令，則，

①當時，，所以是增函數(shù)，

又，所以，所以在[0，+∞)上是增函數(shù)，

而，是偶函數(shù)，

故恒成立．

②當時，，所以是減函數(shù)，

又，所以，所以在(0，+∞)上是減函數(shù)，

而，是偶函數(shù)，所以，與矛盾，故舍去．

③當時，必存在唯一(0，)，使得，

因為在[0，]上是增函數(shù)，

所以當x(0，x0)時，，即在(0，x0)上是減函數(shù)，

又，所以當x(0，x0)時，，，即在(0，x0)上是減函數(shù)，

而，所以當x(0，x0)時，，與矛盾，故舍去．

綜上，實數(shù)a的取值范圍是．