Question

已知函數(shù)f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a為常數(shù))．

(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；

(2)當a>0時，討論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性，并寫出相應的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

（1）y＝2x.

（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

【解析】【解析】
(1)當a＝－1時，f(x)＝x2＋x－ln x，

則f′(x)＝2x＋1－，

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為

y－2＝2(x－1)，即y＝2x.

(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋

＝

＝ (x>0)．

由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a.

①當0<a<時，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<a或<x<1；

由f′(x)<0且x>0，得a<x<.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，a)和，單調(diào)遞減區(qū)間是；

②當a＝時，f′(x)＝≥0，當且僅當x＝時，

f′(x)＝0.

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

③當<a<1時，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<或a<x<1；

由f′(x)<0且x>0，得<x<a.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(a,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是；

④當a≥1時，由f′(x)>0且x>0，

得0<x<；

由f′(x)<0且x>0，得<x<1.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.