Question

已知方程ax²+bx-1=0（a，b∈R且a＞0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則a-b的取值范圍為

（-1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意知，一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，得關(guān)于a，b的等式，再利用線性規(guī)劃的方法求出a-b的取值范圍．

解答：解：由于關(guān)于x的方程ax²+bx-1=0（a，b∈R，且a＞0）
有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其中一個(gè)根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
令f（x）=ax²+bx-4，
則函數(shù)f（x）的圖象在（1，2）內(nèi)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，
故滿足f（1）•f（2）＜0，
∴（a+b-1）（4a+2b-1）＜0．
畫(huà)出可行域，如圖陰影部分所示：
視a，b為變量，作出圖象，如圖所示：
令目標(biāo)函數(shù)為t=a-b，
數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)直線a-b=t過(guò)A（0，1）點(diǎn)時(shí)，
t=-1，
故t＞-1．
故答案為 （-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃的介入，為研究函數(shù)的最值或最優(yōu)解提供了新的方法，借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想，屬于基礎(chǔ)題．