【題目】已知橢圓 的焦距為,斜率為的直線與橢圓交于兩點,若線段的中點為,且直線的斜率為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點 為橢圓上一點,且滿足,問:是否為定值?若是,求出此定值,若不是,說明理由.

【答案】(1) .

(2) 為定值.過程見解析.

【解析】分析:(1)焦距說明,用點差法可得.這樣可解得,得橢圓方程;

(2),這種特殊情形可直接求得,在時,直線方程為,設(shè),把直線方程代入橢圓方程,后可得,然后由紡長公式計算出弦長,同時直線方程為,代入橢圓方程可得點坐標(biāo),從而計算出,最后計算即可.

詳解:(1)由題意可知,設(shè)代入橢圓可得

,兩式相減并整理可得

,即.

又因為,代入上式可得,.

所以,

故橢圓的方程為.

(2)由題意可知,,當(dāng)為長軸時為短半軸,此時

否則,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得

,

則有

所以

設(shè)直線方程為,聯(lián)立根據(jù)對稱性,

不妨得

所以.

,

綜上所述,為定值.

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A. B. C. D.

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A.①③B.①④C.②③D.②④

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