Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx（a≠0）．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，f′（1）=2+a=0，即可求a的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+alnx，
∴f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，
∵x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=2+a=0，
∴a=-2（5分）
（2）∵f（x）的定義域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{{2{x^2}+a}}{x}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），沒(méi)有減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得增區(qū)間[$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，+∞），由f′（x）＜0得減區(qū)間（0，$\sqrt{-\frac{a}{2}}$]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了推理能力，分類討論的能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．