Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-12x+4，x∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間上的符號，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為正，對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；再由左增右減對應(yīng)函數(shù)的極大值，左減右增，對應(yīng)函數(shù)的極小值，得到f（x）的極值；
（2）由（1）作出函數(shù)f（x）的草圖，進(jìn)而得到方程f（x）=a有3個(gè)不同實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為a值，介于函數(shù)的兩極值之間，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-12x+4，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）…（1分）
令f′（x）=0得：x₁=-2，x₂=2…（2分）
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

所以f（x）的增區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞），減區(qū)間是（-2，2）；  …（6分）
當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得極大值，極大值f（-2）=20；         …（7分）
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值，極小值f（2）=-12．…（8分）
（2）由（1）可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向：

∴當(dāng)-12＜a＜20時(shí)，直線y=a與y=f（x）的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn)，…（11分）
即當(dāng)-12＜a＜20時(shí)方程f（x）=a有三解．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在及根的個(gè)數(shù)判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．