Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
從極點(diǎn)O作射線，交直線ρcosθ=3于點(diǎn)M，P為射線OM上的點(diǎn)，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一個(gè)點(diǎn)P在直線ρsinθ-ρcosθ=m，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：設(shè)P（ρ，θ），則由|OM||OP|=12得|OM|=，∴，由于點(diǎn)M在直線ρ^′cosθ=3上，∴．
即ρ=4cosθ（ρ≠0）．
∴ρ²=4ρcosθ，化為平面直角坐標(biāo)系的方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4（x≠0）．
直線ρsinθ-ρcosθ=m化為平面直角坐標(biāo)系的方程為y-x-m=0，
因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)點(diǎn)P在直線y-x-m=0上，所以y-x-m=0和（x-2）²+y²=4（x≠0）相切，
∴=2，解得m=-2±．
或直線l過原點(diǎn)時(shí)也滿足條件，此時(shí)m=0．
總上可知：m的取值是-2±，或0．
分析：設(shè)P（ρ，θ），由條件|OM|•|OP|=12，可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由于點(diǎn)M在直線ρ^′cosθ=3上，可將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得出點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程，進(jìn)而化為直角坐標(biāo)系的方程，知道點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓且去掉x軸上的兩點(diǎn)．因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)點(diǎn)P在直線
ρsinθ-ρcosθ=m上，故直線與圓相切，或直線經(jīng)過原點(diǎn)，據(jù)此可求實(shí)數(shù)m的值．
點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)系下直線與圓的交點(diǎn)問題，將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)系的方程是解決此問題常用的方法．