已知圓過定點，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點．
（1）當(dāng)圓心是拋物線的頂點時，求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長．
（2）當(dāng)圓心在拋物線上運動時，是否為一定值？請證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)圓心在拋物線上運動時，記，，求的最大值，并求出此時圓的方程．

（1）；（2）是定值，為2；（3）取得最大值，此時圓的方程為．

解析試題分析：（1）這是關(guān)于圓的基本計算問題，圓心是拋物線的頂點，又圓過點，可得圓半徑為，就得出了圓的方程，拋物線的準(zhǔn)線為，與圓相交弦長可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相應(yīng)半徑可構(gòu)成一個直角三角形，應(yīng)用勾股定理易得；（2）圓心在拋物線上運動，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，與（1）同法可得弦長，當(dāng)然本題中弦在軸上，故可在圓方程中令，求出，也即求出為定值；（3）根據(jù)圓的性質(zhì)，由（2）可得兩點的坐標(biāo)為，這樣就可用來表示，可求得，時，有，時，利用基本不等式有，從而（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），故所求最大值為．
試題解析：（1）拋物線的頂點為，準(zhǔn)線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長         4分
（2）設(shè)圓心，則圓的半徑，
圓的方程是為：    6分
令，得，得，，
是定值．      8分
（3）由（2）知，不妨設(shè)，，，．
．      11分
當(dāng)時，．      12分
當(dāng)時，．
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立          14分
所以當(dāng)時，取得最大值，此時圓的方程為．
16分
考點：（1）拋物線的幾何性質(zhì)，圓的弦長公式；（2）圓的弦長；（3）基本不等式與最大值問題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；
（2）設(shè)點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，設(shè)點，，為拋物線上的動點（異于頂點），連結(jié)并延長交拋物線于點，連結(jié)、并分別延長交拋物線于點、，連結(jié)，設(shè)、的斜率存在且分別為、.

（1）若，，，求；
（2）是否存在與無關(guān)的常數(shù)，是的恒成立，若存在，請將用、表示出來；若不存在請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點，，動點滿足．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)在直線：上取一點，過點作軌跡的兩條切線，切點分別為．問：是否存在點，使得直線//？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知坐標(biāo)平面內(nèi)：，：.動點P與外切與內(nèi)切.
（1）求動圓心P的軌跡的方程;
（2）若過D點的斜率為2的直線與曲線交于兩點A、B,求AB的長;
（3）過D的動直線與曲線交于A、B兩點，線段中點為M，求M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線與直線相交于A、B 兩點．
（1）求證：；
（2）當(dāng)的面積等于時,求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為，點是點關(guān)于軸的對稱點，過點的直線交拋物線于兩點。
（Ⅰ）試問在軸上是否存在不同于點的一點，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標(biāo)，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若的面積為，求向量的夾角；

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同步練習(xí)冊答案