Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²-2x-1．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，且l在y軸上的截距為-2，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若1＜a＜2，證明：存在x₀∈（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$），使得f′（x₀）=0，且f（x₀）＜$\frac{15}{16}$．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a的值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得f′（-$\frac{1}{a}$）＞0，f′（-$\frac{1}{4}$）＜0在1＜a＜2成立，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可得存在x₀∈（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$），使得f′（x₀）=0；再由f（x₀）-$\frac{15}{16}$=-ax₀²+（2a-2）x₀+$\frac{1}{16}$，求出對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求得端點(diǎn)的函數(shù)值的符號，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-ax²-2x-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-2ax-2，
在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為e-2a-2，
切點(diǎn)為（1，e-a-3），又切線過（0，-2），
則e-2a-2=$\frac{e-a-3+2}{1-0}$，解得a=-1；
（2）證明：由1＜a＜2，f′（-$\frac{1}{a}$）=${e}^{-\frac{1}{a}}$+2-2＞0，
f′（-$\frac{1}{4}$）=${e}^{-\frac{1}{4}}$+$\frac{a}{2}$-2＜0在1＜a＜2成立，
由零點(diǎn)存在定理可得，
存在x₀∈（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$），使得f′（x₀）=0；
且f′（x₀）=e^x₀-2ax₀-2=0，即e^x₀=2ax₀+2，
可得f（x₀）=e^x₀-ax₀²-2x₀-1=-ax₀²+（2a-2）x₀+1，
由f（x₀）-$\frac{15}{16}$=-ax₀²+（2a-2）x₀+$\frac{1}{16}$，
對稱軸為x₀=$\frac{a-1}{a}$＞0，區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$）為增區(qū)間，
由f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{a}{16}$-$\frac{1}{2}$（a-1）+$\frac{1}{16}$=$\frac{9}{16}$（1-a）＜0，
又f（-$\frac{1}{4}$）＞f（-$\frac{1}{a}$），
則f（x₀）在（-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{4}$）都有f（x₀）＜$\frac{15}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題的解法，同時(shí)考查零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，屬于中檔題．