Question

2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（　�。�

• A． 136π
• B． 144π
• C． 36π
• D． 34π

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，建立空間直角坐標(biāo)系，求出外接球的球心，從而可的外接球的半徑，再計(jì)算出外接球的面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體為四棱錐E-ABCD，直觀圖如圖所示：

其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=$\sqrt{2}$，
C到AB的距離為2，C到AD的距離為2$\sqrt{2}$，
以A為原點(diǎn)，以AB，AD，及平面ABCD過(guò)A的垂線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（2，2$\sqrt{2}$，0），D（4，0，0），E（0，$\sqrt{2}$，4）．
設(shè)外接球的球心為M（x，y，z），則MA=MB=MC=MD=ME，
∴x²+y²+z²=x²+（y-$\sqrt{2}$）²+z²=（x-2）²+（y-2$\sqrt{2}$）²+z²=（x-4）²+y²+z²=x²+（y-$\sqrt{2}$）²+（z-4）²，
解得x=2，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，z=2．
∴外接球的半徑r=MA=$\sqrt{4+\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{\frac{17}{2}}$，
∴外接球的表面積S=4πr²=34π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的三視圖，球與棱錐的位置關(guān)系，屬于中檔題．