Question

7．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如下圖所示，其中俯視圖是頂角為$\frac{2π}{3}$的等腰三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（　　）

• A． 20π
• B． 16π
• C． 8π
• D． 17π

Answer 1

分析 作出幾何體的三視圖，建立空間坐標(biāo)系，求出外接球的球心，從而得出半徑，再計(jì)算面積．

解答 解：作出幾何體的直觀圖如圖所示：

由三視圖可知底面ACD是等腰三角形，∠ACD=$\frac{2π}{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，
BC⊥平面ACD，BC=2，
取AD的中點(diǎn)E，連接CE，則CE⊥AD，
以E為原點(diǎn)，以AD為x軸，以EC為y軸，以平面ACD的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，
則A（-$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，2），C（0，1，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），
設(shè)三棱錐的外接球的球心為M（x，y，z），則MA=MB=MC=MD．
∴（x+$\sqrt{3}$）²+y²+z²=x²+（y-1）²+（z-2）²=x²+（y-1）²+z²=（x-$\sqrt{3}$）²+y²+z²，
解得x=0，y=-1，z=1．
∴外接圓的半徑r=MA=$\sqrt{3+1+1}$=$\sqrt{5}$．
∴外接球的表面積S=4πr²=20π．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的三視圖，球與棱錐的位置關(guān)系，屬于中檔題．