Question

在正四面體P-ABC中，M為△ABC內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離成等差數(shù)列，則點(diǎn)M的軌跡是

1. A.
   一條線段
2. B.
   橢圓的一部分
3. C.
   雙曲線的一部分
4. D.
   拋物線的一部分

Answer 1

A
分析：先設(shè)點(diǎn)M到三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離為d-a，d，d+a，正四面體P-ABC中各個(gè)面的面積為S，體積為V，用等體積法可d為常數(shù)且等于高h(yuǎn)的三分之一，再作一個(gè)平面α使α平行于面SBC且它們的面面距離為d，則α與面ABC的交線即為點(diǎn)M的軌跡，從而解決問題．
解答：設(shè)點(diǎn)M到三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA的距離為d-a，d，d+a
正四面體P-ABC中各個(gè)面的面積為S，體積為V，
用等體積法可知：
S（d-a+d+d+a ）=3V
所以d為常數(shù)且等于高h(yuǎn)的三分之一，
作一個(gè)平面α使α平行于面SBC且它們的面面距離為d
則α與面ABC的交線即為點(diǎn)M的軌跡
易知p的軌跡為一條線段．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、體積法的應(yīng)用、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．