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已知函數f（x）=2sin2x+
3
sin2x-1．
（1）求函數f（x）的零點；
（2）若方程f（x-
π
6
）+4sinx+1=a在x∈[
π
6
，
π
2
]上有解，求實數a的取值范圍．
考點：三角方程,函數的零點
專題：三角函數的求值
分析：（1）f（x）=2sin（2x-
π
6
），令2x-
π
6
=kπ，得x=
π
12
+
kπ
2
，由此能求出f（x）的零點．
（2）由已知得a=4(sinx+
1
2
)2-2，由此利用已知條件能推導出a∈[2，7]．
解答： 解：（1）f(x)=1-cos2x+
3
sin2x-1=2(sin2xcos
π
6
-cos2xsin
π
6
)=2sin(2x-
π
6
)
令：2x-
π
6
=kπ，得x=
π
12
+
kπ
2
，所以f（x）的零點為x=
π
12
+
kπ
2

（2）a=f(x-
π
6
)+4sinx+1=2sin(2x-
π
3
-
π
6
)+4sinx+1=-2cos2x+4sinx+1
=-2（1-2sin2x）+4sinx+1
=4sin2x+4sinx-1
=4(sinx+
1
2
)2-2
當x∈[
π
6
，
π
2
]時，sinx∈[
1
2
，1]，4(sinx+
1
2
)2-2∈[2，7]
因為f(x-
π
12
)+4sinx=a在x∈[
π
6
，
π
2
]上有解，所以a∈[2，7]
點評：本題考查函數的零點的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要注意三角函數性質的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=2cos2x+2
3
（sinxcosx+
3
a
6
），其中x∈R，a為常數則
（1）求y=f（x）的最小正周期；
（2）若角C為△ABC的三個內角中的最大角且y=f（c）的最小值為0，求a的值；
（3）在（2）的條件下，試畫出y=f（x）（x∈[0，π]）的簡圖．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求函數f（x）=x2+|x-2|，x∈[0，4]的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某房地產項目打造水景工程，擬在小區(qū)綠地中建設人工湖．該綠地形狀為Rt△OPQ（如圖），∠POQ=90°，OP=40m，OQ=40
3
m．人工湖也呈三角形形狀，三個頂點分別為O、M、N，其中點M，N在線段PQ上．若∠MON=30°，當∠POM取何值時，人工湖的面積最小？并求面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x，y∈R，若2x+（5-y）i 和3x-3-（y+3）i是共軛復數，且復數Z=x+yi，求|Z|和復數Z的共軛復數
.
Z
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}的前n項和為Sn，且an，1，2Sn（n∈N*）成等差數列．
（1）求a1，a2的值；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）若數列{bn}的前n項和為Tn，且滿足bn=（3n-1）•an（n∈N*，證明：Tn＜
7
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某種商品每件進價9元，售價20元，每天可賣出69件．若售價降低，銷售量可以增加，且售價降低x（0≤x≤11）元時，每天多賣出的件數與x2+x成正比．已知商品售價降低3元時，一天可多賣出36件．
（Ⅰ）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數；
（Ⅱ）該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：

曲線f（x）=cosx（x＞0）上所有切線斜率為0的切點按從左至右的順序排成點列（an，f（an））（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=
an
2n
，數列{bn}的前n項和為Tn，求cosT6的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=loga（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）在[2，6]上遞增，并且最小值為loga（
7
9a
），求實數a的值．

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