Question

曲線f（x）=cosx（x＞0）上所有切線斜率為0的切點按從左至右的順序排成點列（a_n，f（a_n））（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

an

2n

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求cosT₆的值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)運算的法則可得f′（x）=-sinx，令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈N^*），利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=

an

2n

=

nπ

2n

，再利用“錯位相減法”可得T_n=π(2-

2+n

2n

)．再利用誘導(dǎo)公式即可得出cosT₆．

解答： 解：（1）∵f（x）=cosx（x＞0），∴f′（x）=-sinx，
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是以π為首項，π為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=π+（n-1）π=nπ（n∈N^*）．
（2）b_n=

an

2n

=

nπ

2n

，
∴T_n=π(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，

1

2

Tn=π(

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

)，
兩式相減可得：

1

2

Tn=π(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)
=π[

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

]
=π(1-

1

2n

-

n

2n+1

)，
∴T_n=π(2-

2+n

2n

)．
∴cosT₆=cosπ(2-

8

26

)=cos

π

8

=

1+cos π 4 2

=

2+ 2

2

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、誘導(dǎo)公式即可得出，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．