【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調(diào)遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

【答案】
（1）解：由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，則f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex，

∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex，

由題意函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調(diào)遞減可得對(duì)于任意的x∈（0，1），都有f′（x）≤0

當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+（a﹣1）x﹣a圖象開(kāi)口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e≤0，即a≤1，故有0＜a≤1；

當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）ex＜0，函數(shù)符合條件；

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xex＜0，函數(shù)符合條件；

當(dāng)a＜0時(shí)，因f′（0）=﹣a＞0函數(shù)不符合條件；

綜上知，a的取值范圍是0≤a≤1


（2）解：因?yàn)?g（x）=f（x）﹣f′（x）=（ax2﹣（a+1）x+1）ex﹣[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex=（﹣2ax+a+1）ex，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex，

（i）當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=ex＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e

（ii）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于任意x∈（0，1）有g(shù)′（x）=﹣2xex＜0，則有g(shù)（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；

（iii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由g′（x）=0得x= ＞0，

①若 ，即0＜a≤ 時(shí)，g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1﹣a）e，最小值是g（0）=1+a；

②若 ，即 ＜a＜1時(shí)，g（x）在x= 取得最大值g（ ）=2a ，在x=0或x=1時(shí)取到最小值，

而g（0）=1+a，g（1）=（1﹣a）e，

則令g（0）=1+a≤g（1）=（1﹣a）e可得 ＜a≤ ；令g（0）=1+a≥g（1）=（1﹣a）e可得 ≤a＜1

綜上，當(dāng) ＜a≤ 時(shí)，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，

當(dāng) ≤a＜1時(shí)，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1﹣a）e


【解析】（1）由題意，函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調(diào)遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在[0，1]上的函數(shù)值恒小于等于0，再結(jié)合f（0）=1，f（1）=0這兩個(gè)方程即可求得a取值范圍；（2）由題設(shè)條件，先給出g（x）=f（x）﹣f′（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex ， 由于參數(shù)a的影響，函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性不同，結(jié)合（1）的結(jié)論及g′（x）可得．（i）當(dāng)a=0時(shí)；（ii）當(dāng)a=1時(shí)；（iii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，分三類對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，確定并求出函數(shù)的最值
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如表：

商店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x/千萬(wàn)元

3

5

6

7

9

利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元

2

3

3

4

5


（1）畫(huà)出銷售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖；
（2）若銷售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程；
（3）據(jù)（2）的結(jié)果估計(jì)當(dāng)銷售額為1億元時(shí)的利潤(rùn)額．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）
A.﹣1是f（x）的零點(diǎn)
B.1是f（x）的極值點(diǎn)
C.3是f（x）的極值
D.點(diǎn)（2，8）在曲線y=f（x）上

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，此函數(shù)的解析式為（ ）
A.y=2sin（2x+ ）??
B.y=2sin（2x+ ）??
C.y=2sin（ ﹣ ）??
D.y=2sin（2x﹣ ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z=（m2﹣3m﹣4）+（m2+3m﹣28）i，其中i為虛數(shù)單位．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)？
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)？
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)當(dāng)時(shí),分別求函數(shù)的最小值和的最大值,并證明當(dāng)時(shí), 成立;

(3)令,當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)有幾個(gè)不同的零點(diǎn)并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{bn}滿足bn=3bn﹣1+2（n≥2），b1=1．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足Sn=4an+2
（1）求證：{bn+1}是等比數(shù)列并求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓O：x2+y2=r2（r＞0），點(diǎn)P為圓O上任意一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交圓O于另一點(diǎn)A，B．
（1）當(dāng)直線PA的斜率為2時(shí)，
①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且PA=2PB，求r的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上移動(dòng)時(shí)，求證：直線OP與AB的斜率之積為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知△ABC中，BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0，∠A的角平分線所在的直線方程為y=0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）又過(guò)點(diǎn)C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)M，N，求△MON的面積最小值及此時(shí)直線l的方程．

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