Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)當(dāng)時,分別求函數(shù)的最小值和的最大值,并證明當(dāng)時, 成立;

(3)令,當(dāng)時,判斷函數(shù)有幾個不同的零點(diǎn)并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）1個

【解析】試題分析：（1）由題意得在上恒成立,根據(jù)恒成立問題的解答方法求解;

（2）分別求出函數(shù)和的導(dǎo)數(shù),研究出函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值;

根據(jù)題意得,可判斷出,即在上單調(diào)遞減,得出函數(shù)至多有一個零點(diǎn),再利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷.

試題解析：

(1)由題意得在上恒成立,

令,有即,

得,所以.

(2)由題意可得

令,則,

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時, 取最小值3， ,令,得,

當(dāng)在上單調(diào)遞增,所以,

因?yàn)楫?dāng)時, ,

所以當(dāng)時, .

(3)因?yàn)?/span>,

所以,

其定義域?yàn)?/span>,,

因?yàn)?/span>,所以,所以在上單調(diào)遞減,

因?yàn)?/span>,所以,所以，又,所以函數(shù)只有1個零點(diǎn).