Question

3．命題p：y=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的圖象全在x軸的上方，命題q：函數(shù)f（x）=x²-4x+3在[0，a]的值域為[-1，3]，若p∨q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：對a分類討論：由a²+4a-5=0，解得a=1或-5，直接驗證是否滿足題意；由a²+4a-5≠0，由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4a-5＞0}\\{△=16（a-1）^{2}-12（{a}^{2}+4a-5）＜0}\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．命題q：函數(shù)f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，f（0）=3，f（2）=-1，及其在[0，a]的值域為[-1，3]，可得a≥2．若p∨q為假命題，因此p與q都為假命題，即可得出．

解答 解：命題p：由a²+4a-5=0，解得a=1或-5，a=-5時，y=24x+3的圖象不可能全在x軸的上方；a=1時，y=3的圖象全在x軸的上方，滿足題意；
由a²+4a-5≠0，∵y=（a²+4a-5）x²-4（a-1）x+3的圖象全在x軸的上方，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+4a-5＞0}\\{△=16（a-1）^{2}-12（{a}^{2}+4a-5）＜0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜19，
綜上可得：a的取值范圍是[1，19）．
命題q：函數(shù)f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，f（0）=3，f（2）=-1，已知在[0，a]的值域為[-1，3]，∴a≥2．
若p∨q為假命題，∴p與q都為假命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1或a≥19}\\{a＜2}\end{array}\right.$，解得a＜1．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法、一元二次方程及其不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．