Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與直線y=-1所圍成的三角形的面積為4，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，令y=-1可得兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由三角形的面積公式可得b=4a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
令y=-1可得x=±$\frac{a}$，
由漸近線與直線y=-1所圍成的三角形的面積為4，
可得$\frac{1}{2}$•1•$\frac{2b}{a}$=4，即有b=4a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{17}$．
故答案為：$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用漸近線方程，同時(shí)考查三角形的面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．