Question

已知（

x

+

1

x2

）ⁿ的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)比是9：2，求：
（1）展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）展開式中含x^-10的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）利用（

x

+

1

x2

）ⁿ的展開式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)比是9：2，求出n，再利用通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)；
（2）令x的指數(shù)為-10，即可求出展開式中含x^-10的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．

解答： 解：由題意，得：

C 2 n

C 1 n

=

9

2

解得n=10-------------------------------（2分）
所以通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(

1

x2

)r=

C

r 10

x5-

5

2

r-------------------（2分）
（1）由題意5-

5

2

r=0，解得r=2----------------------------------（2分）
所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第三項(xiàng)T3=

C

2 10

=45---------------------（2分）
（2）由題意5-

5

2

r=-10，解得r=6---------------------------（2分）
所以展開式中含x^-10的項(xiàng)為第七項(xiàng)，第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

6 10

=210---（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定通項(xiàng)是關(guān)鍵．