Question

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的一個頂點的坐標(biāo)為A(0，－1)，且右焦點F到直線x－y＋＝0的距離為3．

(Ⅰ)求該橢圓的方程；

(Ⅱ)是否存在斜率不為0的直線l，使其與已知橢圓交于M、N兩點，滿足AM⊥AN，且|AM|＝|AN|．

(Ⅲ)若斜率為k的直線l與橢圓交于M，N兩點，使得|AM|＝|AN|，求k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由已知b＝1． 又橢圓右焦點F(c，0)到直線x－y＋＝0的距離為 ＝3． ∴c＝． 可得＝3． 故橢圓的方程為＝1． (Ⅱ)不存在． 若存在直線l∶y＝kx＋m(k≠0)滿足條件，則建立方程組 消去y，得()＋6kmx＋3()＝0．…………① 判別式 △＝－4(＋1)×3(－1)＞0． 即 0．……………② 設(shè) M()、N()，MN的中點為B， 由方程①及韋達定理，有 由直線l的方程，得 ∴MN中點B的坐標(biāo)為()． 又由|AM|＝|AN|，有AB⊥MN， ∴ 化簡后得 m＝． 于是中點B的坐標(biāo)為()． 不等式②可化為 (－12)×＞0， 即 9(＋1)(1－)＞0． 解得 －1＜k＜1．(k≠0) 若AM⊥AN，則|AB|＝|MN|． ， 又 ∴ 由＝＝， 即 ＝1． ＝0，與題設(shè)k≠0矛盾． 故 滿足條件的直線l不存在． (Ⅲ)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m， 建立方程組 消去y，得＝0，① 判別式 △＝＞0， 即 ＞0，② 設(shè) ，MN的中點為B， 由方程①及韋達定理，有 代入直線l的方程，得， ∴MN中點B的坐標(biāo)為()． 又由|AM|＝|AN|，有 AB⊥MN， ∴． 化簡后得 m＝， 不等式②可化為 (－12)×＞0， 即 ＞0， 解得 －1＜k＜1． 故 直線l的斜率k的取值范圍為(－1，1)．