Question

如圖，圓O為等腰梯形ABCD的外接圓，且AB∥CD，過點(diǎn)C作圓的切線CE交AB的延長(zhǎng)線于E，證明：
（1）∠E=∠CAD
（2）AC²=CD•AE．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AD=BC，從而得到∠ACD=∠BAC．再由AE為圓的切線，能證明∠ECB=∠BAC，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CBE=∠D，進(jìn)而∠E=∠CAD；
（2）先證明△ACD∽△CAE，故AC•CE=CD•AE．再證明AC=CE，可得AC²=CD•AE．

解答： 證明：（1）∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴AD=BC． 
∴∠ACD=∠BAC，
∵AE為圓的切線，
∴∠ECB=∠BAC．
∴∠ACD=∠ECB．
又∵∠CBE=∠D，
∴∠E=∠CAD；
（2）∵AE為圓的切線，
∴∠ECA=∠CDA，
由（1）中∠ACD=∠BAC，
∴△ACD∽△CAE，
∴AC：AE=CD：CE
即AC•CE=CD•AE．
又∵∠E=∠CAD
∴AC=CE，
∴AC²=CD•AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦切角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，難度中檔．