Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²++，且存在x∈（0，），使f（x）=x．
（1）證明：f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）設(shè)x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，證明：x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n；
（3）證明：＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)增，只需證其導(dǎo)函數(shù)在R上恒大于零即可；
（2）先驗(yàn)證n=1時是否成立，假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時有x_k＜x_k+1＜x＜y_k+1＜y_k，再驗(yàn)證n=k+1時是否成立；
（3）利用基本不等式進(jìn)行化簡，利用整體的思想轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最值即可．
解答：解：（1）∵f'（x）=3x²-2x+=3（x-）²+＞0，
∴f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．
（2）∵0＜x＜，即x₁＜x＜y₁．又f（x）是增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x）＜f（y₁）．即x₂＜x＜y₂．
又x₂=f（x₁）=f（0）=＞0=x₁，y₂=f（y₁）=f（）=＜=y₁，
綜上，x₁＜x₂＜x＜y₂＜y₁．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時，上面已證明成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時有x_k＜x_k+1＜x＜y_k+1＜y_k．
當(dāng)n=k+1時，
由f（x）是單調(diào)增函數(shù)，有f（x_k）＜f（x_k+1）＜f（x）＜f（y_k+1）＜f（y_k），
∴x_k+1＜x_k+2＜x＜y_k+2＜y_k+1
由①②知對一切n=1，2，都有x_n＜x_n+1＜x＜y_n+1＜y_n．
（3）==y_n²+x_ny_n+x_n²-（y_n+x_n）+≤（y_n+x_n）²-（y_n+x_n）+
=[（y_n+x_n）-]²+．
由（Ⅱ）知0＜y_n+x_n＜1．
∴-＜y_n+x_n-＜，
∴＜（）²+=
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于中檔題．