Question

22. 設動點P到兩定點F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ.

   （1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

   （2）如圖，過點F₂的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點.問：是否存在λ，使△F₁AB是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(1)△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2

(d₁-d₂)2=4-4λ

(小于2的常數(shù))

故動點P的軌跡C是以F₁、F₂為焦點，實軸長的雙曲線。

方程為.

(2)方法一：在△AF₁B中，設|AF₁|=d₁, |AF₂|=d₂, |BF₁|=d₃, |BF₂|=d₄.

假設△AF₁B為等腰直角三角形，則

由②與③得d₂=2a,

則

由⑤得d₃d₄=2λ,

,

故存在滿足題設條件。

方法二：(1)設△AF₁B為等腰直角三角形，依題設可得

,

所以，.

則                                 ①

由,可設|BF₂|=d,

則，.

則          ②

由①②得.                            ③

根據(jù)雙曲線定義可得，，

平方得：                    ④

由③④消去d可解得，

故存在滿足題設條件。