Question

16．如圖是一個正三棱柱挖去一個圓柱得到的一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積與挖去的圓柱的體積比為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}-1$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{π}+1$

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體，然后利用柱體的體積公式得答案．

解答 解：由三視圖還原原幾何體如圖：

該幾何體是一個正三棱柱挖去一個圓柱得到的組合體．
設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，高為b，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，
則由$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a=3×\frac{1}{2}×a×r$，得r=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$．
圓柱的高為b．
∴棱柱的體積為$\frac{1}{2}×a×\frac{\sqrt{3}}{2}a×b=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}b$，圓柱的題為$π×（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}×b=\frac{π}{12}{a}^{2}b$．
則幾何體的體積與挖去的圓柱的體積比為$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}b-\frac{π}{12}{a}^{2}b}{\frac{π}{12}{a}^{2}b}=\frac{3\sqrt{3}}{π}-1$．
故選：A．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．