Question

已知三棱錐P-ABC的棱長都是2，點D是棱AP上不同于P的點．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)BD與CP不是異面直線，即BD與CP都在平面α上，從而可得出點A、B、C、P都在平面α上，這與P-ABC是三棱錐矛盾，故假設(shè)不成立，得證；
（2）求三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC．選△ABC為底，故關(guān)鍵是求出底面上的高，為此利用底面三角形是正三角形，可求．
解答：解：（1）證明：（反證法）假設(shè)BD與CP不是異面直線．（2分）
設(shè)BD與CP都在平面α上．∵P∈α，D∈α，∴PD?α．又A∈PD，∴A∈α．
∴點A、B、C、P都在平面α上，這與P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾，于是，假設(shè)不成立．（5分）
所以直線BD與CP是異面直線．（6分）
（2）設(shè)錐頂點P在底面的射影為O．∵P-ABC的棱長都是2，∴△ABC是正三角形．
∴，
即O為底面三角形的中心，因此P-ABC為正三棱錐．連接BO并延長交AC于E，則BE⊥AC．
∵AB=BC=AC=PB=2，∴． （8分）
∴，進(jìn)一步可得．   （10分）
∴
=
=．                                 （12分）
點評：本題的考點是反證法，主要考查反證法證明異面直線問題，關(guān)鍵是利用反證法的步驟，恰當(dāng)反設(shè)，通過推理論證引出矛盾，考查三棱錐體積的計算，關(guān)鍵是選好底面，求出高．