Question

11．如圖所示，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AA₁、CC₁的中點(diǎn)，AB=AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）求證：平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）證明平面B₁C₁E∥平面ADF，并求兩個(gè)平面間的距離．

Answer 1

分析 （1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出平面B₁C₁E和平面ACD₁的法向量，根據(jù)法向量垂直，可得平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）求出平面平面ADF的法向量，根據(jù)兩個(gè)法向量平行，可得平面B₁C₁E∥平面ADF，代入點(diǎn)到直線距離公式，可得答案．

解答 證明：（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

∵AB=AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
∴B₁（1，0，$\sqrt{2}$），C₁（1，1，$\sqrt{2}$），E（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（1，1，0），D₁（0，1，$\sqrt{2}$），
則$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{E}_{\;}}$=（-1，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{{AD}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面B₁C₁E的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}⊥\overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{{B}_{1}{E}_{\;}}⊥\overrightarrow{m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{{B}_{1}{E}_{\;}}•\overrightarrow{m}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\-x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面ACD₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{n}\\ \overrightarrow{{AD}_{1}}⊥\overrightarrow{n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=0\\ \overrightarrow{{AD}_{1}}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，
令x=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，1），
∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=0，
∴平面B₁C₁E⊥平面ACD₁；
（2）∵D（0，1，0），F(xiàn)（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（1，1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{h}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{h}\\ \overrightarrow{{AD}_{\;}}⊥\overrightarrow{h}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{h}=0\\ \overrightarrow{{AD}_{\;}}•\overrightarrow{h}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x+y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0\end{array}\right.$
令x=1，則$\overrightarrow{h}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），
由$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{h}$，
∴平面B₁C₁E∥平面ADF，
又∵$\overrightarrow{AE}$=（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴兩個(gè)平面間的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}|}{\left|\overrightarrow{AE}\right|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面垂直的判定與平面平行的判斷，平面距離的運(yùn)算，建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系，轉(zhuǎn)化為空間向量關(guān)系，是解答的關(guān)鍵．