Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（3，-$\sqrt{3}$），x∈[0，π]．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求x的值；
（2）記f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，求f（x）的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的平行即可得到tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，問題得以解決，
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴-$\sqrt{3}$cosx=3sinx，
∴tanx=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵x∈[0，π]，
∴x=$\frac{5π}{6}$，
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=3cosx-$\sqrt{3}$sinx=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=2$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-1≤cos（x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最大值，最大值3，
當(dāng)x=$\frac{5π}{6}$時(shí)，f（x）有最小值，最小值-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題