Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²+x+a
（Ⅰ）證明：曲線f（x）不可能與直線y=-2x+1相切；
（Ⅱ）若a＜0，求函數(shù)y=f（x）在[a，0]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）反證法：假設(shè)曲線與直線能相切，則f′（x₀）=-2有解，而通過計算可知該方程無解，故得結(jié)論；
（Ⅱ）先用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值點，分區(qū)間[a，0]內(nèi)無極值點，一個極值點，兩個極值點三種情況進行討論，可求得函數(shù)的最大值；

解答：（I）證明：假設(shè)曲線與直線能相切，則有f′（x₀）=-2，即3x02+4x0+1=-2，
而方程3x02+4x0+3=0的△=-20＜0，無實根，所以假設(shè)錯誤．
曲線f（x）與直線y=-2x+1不可能相切．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
當(dāng)x＜-1或x＞-

1

3

時，f′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜-

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3

時，f′（x）＜0，
故f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（-

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，+∞）；減區(qū)間為（-1，-

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3

），極大值點為x=-1，極小值點為x=-

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3

，
若-

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≤a＜0，f（x）在[a，0]上為增函數(shù)，f（x）_max=f（0）=a；
若-1≤a＜-

1

3

，f（x）在[a，-

1

3

]上為減函數(shù)，在[-

1

3

，0]上為增函數(shù)，
又f（a）-f（0）=a（a+1）²＜0，所以f（x）_max=f（0）=a；
若a＜-1，f（x）在[a，-1]上為增函數(shù)，在[-1，-

1

3

]上為減函數(shù)，在[-

1

3

，0]上為增函數(shù)，
f（x）_max=f（0）=f（-1）=a．
綜上所述，f（x）在[a，0]上的最大值為a．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度．