Question

已知函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x-m，設(shè)G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在區(qū)間[-1，0]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
②是否存在正整數(shù)a，b使得a≤G（x）≤b的解集恰是[a，b]？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1，①若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，根據(jù)對(duì)折變換函數(shù)圖象的特征，我們分△≤0和△＞0兩種情況進(jìn)行討論，可得到滿足條件的m的取值范圍；
②若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，則滿足不等式組，可以求出a，b的值．

解答： 解：①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m
令G（x）=0則△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）
當(dāng)△≤0，2≤m≤6時(shí)G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x²+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是減函數(shù)，則2≤m≤6
△＞0，m＜2，m＞6時(shí)|G（x）|=|x²+（2-m）x+m-2|
因?yàn)閨G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)
所以方程x²+（2-m）x+m-2=0的兩根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且x=

m-2

2

≤-1，得到m≤0
∴m的取值范圍是（-∞，0]∪[2，+∞）；
②因?yàn)閍≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以

G(a)=a G(b)=b

由

-a2+(m-2)a+2-m=a -b2+(m-2)b+2-m=b

，
消去m，得ab-2a-b=0，顯然b≠2．
所以a=

b

b-2

=1+

2

b-2

．    
因?yàn)閍，b均為整數(shù)，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得

a=3 b=3

或

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

或

a=0 b=0

因?yàn)閍＜b，且a≤

4(2-m)+(m-2)2

4

≤b
所以

a=-1 b=1

或

a=2 b=2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函函數(shù)圖象的對(duì)折變換，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，①的切入點(diǎn)是函數(shù)圖象對(duì)折變換后的函數(shù)圖象特征；②中消參思想是解答的關(guān)鍵．