Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為：

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C與曲線|y|=kx（k＞0）的交點為A，B，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求得圓的方程，由直線和圓相切的條件，可得b=

2

，由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀，設(shè)AB交x軸于D，用k表示S_△OAB，再由基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）由題意可得x²+y²=b²，
直線l：x-y+2=0與圓O相切，有

|2|

12+12

=b，
即b=

2

，
e=

c

a

=

3

3

，又c²=a²-b²=a²-2，
解得a=

3

，
則橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），
則y₀=kx₀，設(shè)AB交x軸于D，
由對稱性可得S_△OAB=2S_△OAD=2×

1

2

x₀y₀═kx₀²，
由y₀=kx₀代入

x02

3

+

y02

2

=1，
可得x₀²=

6

2+3k2

，
則S_△OAB=

6k

2+3k2

=

6

3k+ 2 k

≤

6

2 3k• 2 k

=

6

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)3k=

2

k

，即k=

6

3

時，△OAB面積的最大值為

6

2

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時考查直線和圓相切的條件，運用基本不等式求最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．