Question

已知函數(shù)f（x）=2x-

5

x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=2x-

5

x

在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出定義域，判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，計算f（-x）與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（2）運(yùn)用單調(diào)性定義證明，注意取值，作差和變形、定符號及下結(jié)論，幾個步驟．

解答： （1）解：定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=-2x+

5

x

=-（2x-

5

x

）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)0＜m＜n，
則f（m）=2m-

5

m

-（2n-

5

n

）=2（m-n）+（

5

n

-

5

m

）
=2（m-n）+

5(m-n)

mn

=（m-n）•（2+

5

mn

），
由于0＜m＜n，則m-n＜0，mn＞0，
則f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，考查定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．