Question

已知點M（1，1）過點M作兩條相互垂直的直線與圓x²+y²=4分別交于A、B、C、D，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：先確定AC²+BD²為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

解答： 解：由題意可得，圓心O（0，0），半徑R=2，
設弦AC，BD的中點分別為E，F，則OE²+OF²=OM²=2，
AC=2

R2-OE2

=2

4-OE2

，BD=2

R2-OF2

=2

4-OF2

，
∴AC²+BD²=4（8-OE²-OF²）=24，
∴S²=

1

4

AC²•BD²=

1

4

AC²•（24-AC²）≤

1

4

(

AC2+24-AC2

2

)2=36，
∴S≤6，當且僅當AC²=24-AC²，即AC=2

3

時，取等號，
故四邊形ABCD面積S的最大值為6．

點評：本題主要考查直線過定點，考查面積的計算，基本不等式的應用，正確運用代入法是解題的關鍵，屬于基礎題．