4.函數(shù)f(x)=2sin($\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}$)(1<x<4)的圖象與x軸交于點A,過點A的直線l與函數(shù)的圖象交于點B、C兩點,則($\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$)$•\overrightarrow{OA}$=( 。
A.$\frac{25}{2}$B.$\frac{25}{4}$C.$\frac{25}{8}$D.25

分析 由f(x)=0結(jié)合x的取值范圍求出x的值,得出點A的坐標,再設(shè)點B(x1,y1),C(x2,y2),由B,C 兩點關(guān)于A對稱,得出x1+x2=5,y1+y2=0,計算($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$)•$\overrightarrow{OA}$的值即可.

解答 解:由f(x)=2sin($\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$)=0可得$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ,k∈Z;
∴x=3k-$\frac{1}{2}$,k∈Z;
又1<x<4,
∴x=$\frac{5}{2}$即A($\frac{5}{2}$,0);
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),
又過點A的直線l與函數(shù)的圖象交于B、C兩點,
∴B,C 兩點關(guān)于A對稱,即x1+x2=5,y1+y2=0;
∴($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$)•$\overrightarrow{OA}$=(x1+x2,y1+y2)•($\frac{5}{2}$,0)=$\frac{5}{2}$(x1+x2)=$\frac{25}{2}$.
故選:A.

點評 本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標表示,解題的關(guān)鍵正弦函數(shù)對稱性質(zhì)的應用.

練習冊系列答案
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14.給定兩個長度為2且互相垂直的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$,點C在以O(shè)為圓心的圓弧$\widehat{AB}$上變動,若$\overrightarrow{OC}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$,其中x,y∈R,則x+y的最大值是$\sqrt{5}$.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cosα,sinα)(0≤α<2π),$\overrightarrow$=(-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不共線.
(1)證明:向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直;
(2)當兩個向量$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{3}$$\overrightarrow$的模相等時,求角α.

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12.若f′(x0)=6,則$\underset{lim}{k→0}$$\frac{f({x}_{0}-k)-f({x}_{0})}{2k}$等于( 。
A.-3B.3C.-2D.$\frac{1}{3}$

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19.教育部考試中心在對高考試卷難度與區(qū)分性能分析的研究中,在2007至2016十年間對每年理科數(shù)學的高考試卷隨機抽取了若干樣本,統(tǒng)計得到解答題得分率x以及整卷得分率y的數(shù)據(jù),如下表:
 年份 2007 2008 20092010  2011 20122013  20142015  2016
 解答題得分率(x) 0.39 0.30 0.25 0.28 0.55 0.33 0.36 0.40 0.40 0.42
 整卷得分率(y) 0.50 0.43 0.41 0.44 0.59 0.47 0.52 0.56 0.54 0.57
(1)利用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;(精確到0.01)
(2)若以函數(shù)y=0.85$\sqrt{x}$-0.01來擬合y與x之間的關(guān)系,計算得到相關(guān)指數(shù)R2=0.87,對比(1)中模型,哪一個模型擬合效果更好?
參考公式:$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$,R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-{\widehat{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$
參考數(shù)據(jù):$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}$≈3.7,$\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}$≈5,$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}$≈1.89,$\sum_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}$≈1.429,$\sum_{i=1}^{10}({y}_{i}-\widehat{{y}_{i}})^{2}$≈0.006,$\sum_{i=1}^{10}$(yi-$\overline{y}$)2≈0.036
其中${\widehat{y}}_{i}$表示(1)中擬合直線對應的估計值.

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9.設(shè)對于任意實數(shù)x,不等式|x+7|≥m-1恒成立,且m的最大值為p.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)若a,b,c∈R,且a+b+c=p,求證:${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{3}$.

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3.某同學解關(guān)于x的不等式x2-7ax+3a<0(a>0)時,得到x的取值區(qū)間為(-2,3),若這個區(qū)間的端點有一個是錯誤的,那么正確的x的取值區(qū)間應是($\frac{1}{2}$,3).

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20.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,且$\frac{{a}_{1}}{1}+\frac{{a}_{2}}{2}+…+\frac{{a}_{n-1}}{n-1}{=a}_{n}-2$(n≥2).則數(shù)列{an}的通項公式為${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0,n=1}\\{n,n≥2}\end{array}\right.$.

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1.一個不透明的袋子中裝有除顏色外都相同的4個球,其中1個白球,1個紅球,2個黃球,從中隨機一次取出2個球,則這2個球恰有1個黃球的概率為( 。
A.$\frac{5}{6}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{2}{3}$

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