Question

19．教育部考試中心在對高考試卷難度與區(qū)分性能分析的研究中，在2007至2016十年間對每年理科數(shù)學的高考試卷隨機抽取了若干樣本，統(tǒng)計得到解答題得分率x以及整卷得分率y的數(shù)據，如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016
解答題得分率（x）	0.39	0.30	0.25	0.28	0.55	0.33	0.36	0.40	0.40	0.42
整卷得分率（y）	0.50	0.43	0.41	0.44	0.59	0.47	0.52	0.56	0.54	0.57

（1）利用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；（精確到0.01）
（2）若以函數(shù)y=0.85$\sqrt{x}$-0.01來擬合y與x之間的關系，計算得到相關指數(shù)R²=0.87，對比（1）中模型，哪一個模型擬合效果更好？
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
參考數(shù)據：$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}$≈3.7，$\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}$≈5，$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}$≈1.89，$\sum_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}$≈1.429，$\sum_{i=1}^{10}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}$≈0.006，$\sum_{i=1}^{10}$（y_i-$\overline{y}$）²≈0.036
其中${\widehat{y}}_{i}$表示（1）中擬合直線對應的估計值．

Answer 1

分析 （1）根據題意n=10，計算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（2）根據相關指數(shù)R²=0.87，計算（1）中模型的相關指數(shù)R²≈0.83，比較得出（2）中擬合效果要好些．

解答 解：（1）根據題意，n=10，$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}$x_i=0.37，
$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}$y_i=0.5，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1.89-10×0.37×0.5}{1.429-10{×0.37}^{2}}$≈0.67，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=0.5-0.67×0.37≈0.25，
∴y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=0.67x+0.25；
（2）以函數(shù)y=0.85$\sqrt{x}$-0.01來擬合y與x之間的關系，計算得到相關指數(shù)為R²=0.87，
又（1）中模型，計算相關指數(shù)為R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1-$\frac{0.006}{0.036}$≈0.83，
∵0.87＞0.83，∴（2）中擬合效果要好些．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與根據相關指數(shù)判斷擬合效果的應用問題，是中檔題．