Question

在四棱錐P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB∥MN，PD⊥底面ABCD，，直線PA與底面ABCD成60°角，點(diǎn)M，N分別是PA、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求二面角P-MN-D的大小；
（Ⅱ）當(dāng)的值為多少時(shí)，∠CND為直角？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥面PAD．
又MN是△PAB的中位線，∴MN∥AB，從而MN⊥面PAD，
∴∠PMD為二面角P-MN-D的平面角，
由已知，在Rt△PAD中，易證：∠PAD=60°，而M是PA的中點(diǎn)，
∴∠PMD=120°．
即所求二面角P-MN-D的大小為120°．

（Ⅱ）令，不妨設(shè)AD=2，則，CD=X，AB=4X．
以D為原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），N（1，2，），C（0，4x，0），
∴（1，2，），（1，2-4x，），
若∠CND為直角，則必有，
即
于是有，解得x=1．
∴當(dāng)時(shí)，∠CND為直角．
分析：（I）由題意利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，在利用二面角的概念得到二面角的平面角即可得；
（II）由題意利用題中的條件及圖形建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出比例值為x，利用空間向量的知識(shí)建立未知量的方程進(jìn)而求解．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想象能力，線面垂直的判定，利用二面角的概念求出二面角的平面角比求出二面角的大小；此外還考查了利用空間向量的知識(shí)及方程的思想求解．