在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心.
(I)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明);
(II)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最。
精英家教網(wǎng)
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則
(I)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-20|,y∈[0,+∞);
(II)由題意知,點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和(記為d)的最小值
①當(dāng)y≥1時(shí),d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值為24
∵d2(y)=2|y|+|y-20|≥21
∴當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),d2(y)=2|y|+|y-20|的最小值為21
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小,且最小值為45;
②當(dāng)0≤y≤1時(shí),由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此時(shí)d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21
由①知d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24,∴d1(x)+d2(y)≥45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時(shí)等號(hào)成立
綜上所述,在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,一條漸近線方程為x-2y=0,則它的離心率為( 。
A、
5
B、
5
2
C、
3
D、2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為
x=2t-1 
y=4-2t .
(參數(shù)t∈R),以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立相應(yīng)的極坐標(biāo)系.在此極坐標(biāo)系中,若圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,則圓心C到直線l的距離為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(坐標(biāo)系與參數(shù)方程) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=2sinθ+2
 (參數(shù)θ∈[0,2π)),若以原點(diǎn)為極點(diǎn),射線ox為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓C的圓心的極坐標(biāo)為
 
,圓C的極坐標(biāo)方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,求sin(α+β)的值;
(Ⅱ) 若|AB|=
3
2
,求
OA
OB
的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案