Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$且方程f²（x）-af（x）+$\frac{3}{2}$=0恰有四個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{6}$）∪（$\sqrt{6}$，+∞）
• B． （$\sqrt{6}$，$\frac{5}{2}$）
• C． （2，4）
• D． （$\sqrt{6}$，$\frac{11}{4}$]

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$的圖象，從而化為x²-ax+$\frac{3}{2}$=0在（1，2]上有兩個(gè)不同的根，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x+1），x＞1}\end{array}\right.$的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
當(dāng)1＜b≤2時(shí)，f（x）=b有兩個(gè)不同的解，
故x²-ax+$\frac{3}{2}$=0在（1，2]上有兩個(gè)不同的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{1＜\frac{a}{2}＜2}\\{1-a+\frac{3}{2}＞0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{3}{2}＜0}\\{4-2a+\frac{3}{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得，$\sqrt{6}$＜a＜$\frac{5}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了二次方程的根的個(gè)數(shù)的判斷．