Question

14．設(shè)拋物線y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁、F₂為焦點，離心率e=$\frac{1}{2}$的橢圓與拋物線的一個交點為$E（\frac{2}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$；自F₁引直線交拋物線于P、Q兩個不同的點，點P關(guān)于x軸的對稱點記為M，設(shè)$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$．
（Ⅰ）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：$\overrightarrow{{F_2}M}=-λ\overrightarrow{{F_2}Q}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程；再由焦點坐標(biāo)可得m=1，進而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x₁，-y₁），由向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合分析法和聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運用韋達定理即可得證．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由E在橢圓上，得$\frac{4}{{9{a^2}}}+\frac{24}{{9{b^2}}}=1$①，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$ ②
由①、②解得a²=4，b²=3，
橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
可得焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
可得拋物線y²=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線為x=-m，
即有m=1，易得拋物線的方程是：y²=4x；
（Ⅱ）證明：記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x₁，-y₁），
由$\overrightarrow{{F_1}P}=λ\overrightarrow{{F_1}Q}$得x₁+1=λ（x₂+1），
于是有λ=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$，①
欲證：$\overrightarrow{{F_2}M}=-λ\overrightarrow{{F_2}Q}$，只需證：$λ=\frac{{{x_1}-1}}{{1-{x_2}}}$，②
由①②知：只需證明：$\frac{{{x_1}-1}}{{1-{x_2}}}$=$\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$，
化簡為：x₁x₂=1，
設(shè)直線PQ的方程為y=k（x+1），
與拋物線的方程聯(lián)立，得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
根據(jù)韋達定理：x₁+x₂=$\frac{{2{k^2}-4}}{k^2}$，x₁x₂=1，
根據(jù)以上步驟可知：$\overrightarrow{{F_2}M}=-λ\overrightarrow{{F_2}Q}$成立．

點評 本題考查橢圓和拋物線的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，以及拋物線的性質(zhì)，考查向量共線的證明，注意運用分析法和聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，屬于中檔題．