Question

在數(shù)列{a_n}和{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列（n∈N*），
（1）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結(jié)論；
（3）求證：（n∈N*）。

Answer 1

解：（1）；
（2）猜想：；
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；
（ⅱ）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即，
當(dāng)n=k+1時，，
，
所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立；
綜合（�。�（ⅱ）對任意n∈N*，都成立；
（3）欲證，
即證，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1時，左=，不等式顯然成立；
（ⅱ）假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即，
當(dāng)n=k+1時，，
而，
所以，
即，
則n=k+1時不等式也成立；
綜合（ⅰ）（ⅱ）對任意n∈N*，都有，
亦即。