Question

3．設(shè)f（x）=-2x³+bx²+cx+d（其中b，c，d∈R），且當(dāng)k＜-1或k＞4時(shí)，方程f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)-1＜k＜4時(shí)，方程f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根．現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：
①f（x）-5=0的任一實(shí)根大于f（x）+5=0的任一實(shí)根．
②f（x）+2=0的任一實(shí)根大于f（x）-2=0的任一實(shí)根．
③f（x）-4=0和f′（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根．
④f（x）=0和f′（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根．
其中正確的命題有②③．（請(qǐng)寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 由已知中f（x）=-2x³+bx²+cx+d，當(dāng)k＜-1或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)-1＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，故函數(shù)即為極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為-1，分析出函數(shù)簡單的圖象和性質(zhì)后，逐一分析四個(gè)結(jié)論的正誤，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=-2x³+bx²+cx+d，f′（x）=-6x²+2bx+c，
當(dāng)k＜-1或k＞4時(shí)，f（x）-k=0只有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)-1＜k＜4時(shí)，f（x）-k=0有三個(gè)相異實(shí)根，
故函數(shù)既有極大值，又有極小值，且極大值為4，極小值為-1，
函數(shù)f（x）的圖象先遞減再遞增再遞減，
畫出草圖，如圖示：
，
f（x）-5=0的任一實(shí)根小于f（x）+5=0的任一實(shí)根，故①錯(cuò)誤；
f（x）+2=0的任一實(shí)根大于f（x）-2=0的任一實(shí)根，故②正確；
f（x）-4=0與f'（x）=0有一個(gè)相同的實(shí)根，即極大值點(diǎn)，故③正確；
f（x）=-1與f'（x）=-1有一個(gè)相同的實(shí)根，即極小值點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件，判斷出函數(shù)f（x）=-2x³+bx²+cx+d的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．