Question

11．如圖，AB是圓O的直徑，弦CE交AB于D，CD=4$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，BD=2．
（I）求圓O的半徑R；
（Ⅱ）求線段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由相交弦定理得AD•BD=CD•DE，由此能求出圓O的半徑．
（Ⅱ）設(shè)BE=x，連結(jié)AE，則△AEB為直角三角形，且∠ABE=∠ACE，由此利用余弦定理能求出BE的長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）∵AB是圓O的直徑，弦CE交AB于D，CD=4$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，BD=2，
∴AD•BD=CD•DE，即AD•2=4$\sqrt{2}•\sqrt{2}$，
解得AD=8，∴AB=AD+BD=8+2=10，
∴圓O的半徑R=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=5．
（Ⅱ）設(shè)BE=x，連結(jié)AE，則△AEB為直角三角形，且∠ABE=∠ACE，
在△DBE中，cos∠DBE=$\frac{{2}^{2}+{x}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2•2•x}$，
由$\frac{x}{10}=\frac{{2}^{2}+{x}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2•2•x}$，得x=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
∴BE=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的半徑的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相交弦定理和余弦定理的合理運(yùn)用．