Question

若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=

1

f(x)

，且當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-log₃|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于f（x+1）=

1

f(x)

，則f（x+2）=f（x），則f（x）是以2為周期的函數(shù)，由于當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x，則由
f（-x）=f（x），則有當(dāng)x∈[-1，0]，f（x）=-x，畫出函數(shù)y=f（x）和y=log₃|x|的圖象，通過圖象觀察即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：由于f（x+1）=

1

f(x)

，
則f（x+2）=

1

f(x+1)

=f（x），
則f（x）是以2為周期的函數(shù)，
由于當(dāng)x∈[0，1]，f（x）=x，
則由偶函數(shù)f（x）得，
f（-x）=f（x），
則有當(dāng)x∈[-1，0]，f（x）=-x，
畫出函數(shù)y=f（x）和y=log₃|x|的圖象，
通過圖象觀察，共有4個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)g（x）=f（x）-log₃|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性及運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，屬于中檔題．